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Alice à la convention des logiciens (énigme)

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Lao schin
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Alice à la convention des logiciens (énigme)
MessagePosté le: Dim 14 Mar, 2010  Répondre en citant

<mod> Discussion séparée du topic à flood </mod>

Bon je ne savais pas où poster:
<mod> Ben, dans un nouveau topic, pardi ! </mod>

L'énigme de la conventions des logiciens (pour ceux qui aiment réfléchir... beaucoup smile )

http://www.teamliquid.net/forum/viewmessage.php?topic _id=56867 (le 5e post)

Je suis désolé pour les non-anglophones, je ne l'ai trouvée qu'en anglais sur Internet.
J'eus disposé par le passé d'une version française véritablement enchanteresse, que je n'ai malheureusement plus sous la main, et que je ne suis jamais parvenu à retrouver. sadblauw

Je l'ai traduite en français, mais je ne suis pas spécialiste de ce genre d'exercice. Pour ceux qui le veulent, je pourrai quand même la poster, à la suite.

Edit: j'éspère qu'il ne manque aucun éléments, car les indices donnés me semble un peu légers tout de même. L'ayant déjà résolue une fois, je vérifierai...

Inis, Basilus, vous pouvez déplacer ce post le cas échéant.




Dernière édition par Lao schin le Ven 19 Mar, 2010; édité 2 fois
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Lao schin
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MessagePosté le: Dim 14 Mar, 2010  Répondre en citant

Alice à la convention des logiciens

Alice marchait le long des chemins du pays imaginaire lorsqu’elle entendit des voix à proximité. Curieuse par nature, elle grimpa dans un arbre et fut le témoin de cette scène :

Autour d’une immense table circulaire étaient réunis 31 personnes. Devant elles se tenait un orateur vêtu d’une robe écarlate de professeur avec une courte barbe blanche. Il fit signe à tous de se taire et tint le plus étrange discours qu’Alice n’ait jamais entendu.

- « Mes chers confrères logiciens. Nous, les esprits les plus disciplinés du pays imaginaire, sommes aujourd’hui réunis à l’occasion de notre 125e convention annuelle. Nous entendrons des histoires de logique stupéfiantes, nous imaginerons des concepts inimaginables pour le commun des mortels, nous surmonterons les abîmes du doute, et suivrons ensemble les plus aiguisées et subtiles voies de l’intellect. Mais avant cela, nous devons tout d’abord nous assurer qu’aucun intru/espion ne se cache parmi nous. »

Après cette introduction, le professeur fit le tour de la table, s’arrêtant auprès de chacun des logiciens, pour leur coller un point de couleur sur le front. Une fois cela fait, il reprit sa place devant la table et commença à expliquer les règles de cette étrange expérience.

- « Chacun d’entre vous peut voir les points sur le front de ses semblables, mais j’ai bien pris la précaution à ce que personne n’ai pu voir la couleur de son propre point. Votre tâche est de trouver la couleur du point sur votre front. »

- « Il n’y a qu’une seule règle, et elle est simple : toute les minute cette cloche va sonner. Si à cet instant précis un ou plusieurs d’entre vous connaît la couleur du point qu’il porte, il doit se lever de la table et me rejoindre dans la clairière à côté, où la réunion continuera. Si vous ne connaissez pas la couleur de votre marque, vous devez demeurer à la table.

- « Quelqu’un qui resterait à la table alors qu’il devait se lever, ou quelqu’un qui se lèverait alors qu’il devait rester assis, ne pourrait bien évidemment se prétendre logicien et se verrait définitivement exclu de la convention.

Le professeur s’apprêtait à partir lorsque le regard troublé du plus brillant des novices parmi les logiciens retint son attention. Il balaya ses doutes avec ces mots :

- « N’ayez crainte jeune homme, il est possible de venir à bout de cette tâche, mais, bien sûr, vous ne pouvez communiquez entre vous d’aucune manière que ce soit.

Le novice sourit alors, car il savait que le dirigeant des plus brillants esprits du pays imaginaire ne pouvait se tromper.

Devant les yeux d’une Alice maintenant très troublée, le professeur quitta la réunion, et l’expérience commença.

A la première sonnerie, quatre personnes quittèrent la table. A la seconde sonnerie, tous les logiciens avec un point rouge se levèrent quittèrent la table ensemble. A la troisième sonnerie, personne ne bougea, mais à la quatrième, au moins une personne réagit. Le novice, évoqué plus haut, ainsi que sa sœur, avec des points de couleurs différentes, partirent peu après, chacun d’entre eux avant le dernier son de cloche.

Fatiguée par ce long discours, Alice tomba dans un profond sommeil avant la fin du test. Peux-tu lui dire le nombre de fois que la cloche à retentit avant que la table ne soit vide de tous ses occupants ?




Dernière édition par Lao schin le Ven 19 Mar, 2010; édité 3 fois
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Øktave
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MessagePosté le: Jeu 18 Mar, 2010  Répondre en citant

Houlaaa !
À premiér vue je dirait qu'on a pas assez de données ?
Par exemple ça pourrait être utile de savoir combien de type de couleur on était utilisé !?
Mais surtout comment font les participants pour deviner leur couleurs ??? Puisque le Grand Orateur a dit : " ... vous ne devez/pouvez communiquez entre vous par aucun moyen/d’aucune manière. (...) " donc d'emblée ya un hic !?
Ya pô un truc du genre vous pouvez juste demandez si vous avez tel couleur et la réponse serait oui ou non, ou est ce que c'est la même couleur que le voisin, enfin un truc du style une fois par sonnerie ?
Autre question les personnes qui quitte la table au sonnerie ont elles forcément trouver ou est ce qu'elles ont pus abandonnés ou être virés ? Et le "type qui a réagit" à la 4° sonnerie il est parti ou juste il a réagit, s'est gratter la tête ou un truc comme ça ?


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Lao schin
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MessagePosté le: Jeu 18 Mar, 2010  Répondre en citant

Alors, je suis en train de vérifier ma correction. Comme cette énigme ne soulevait pas un immense enthousiasme, j'ai un peu traîné, c'est vrai.

Pour ta question, Oktave, c'est à mon avis le point clé à comprendre: quel est le critère? L'ayant compris, on se dit que c'est élégant, et brillant smile

Ce sont des logiciens, ils ont l'esprit aiguisé,ne l'oublions pas. A partir d'une situation donnée, ils sont capables d'en déduire (logiquement) toutes les conséquences! smile

Edit: Je me demande si effectivement on n'a pas besoin des couleurs utilisées pour résoudre le problème... je reposterai bientôt smile


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Lao schin
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MessagePosté le: Jeu 18 Mar, 2010  Répondre en citant

Après vérification, il ne manque pas de donnée! lach1

C'est mortel, oui je sais.

C'est de l'arithmétique, réfléchissez bien. (avec un papier et un crayon quand même)

Les couleurs sont arbitraires. Seul leur nombre compte.

J'ai retrouvé ma réponse... c'est vrai que c'est un peu chaud

La solution, ... prochainement. Je m'étais concentré la dessus plusieurs heures avant de trouver smile Je crois qu'il existe encore mieux (ou pire selon votre goût ^^ ), mais nous verrons cela plus tard.


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Lao schin
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MessagePosté le: Ven 19 Mar, 2010  Répondre en citant

Alors, une des clés pour résoudre l'énigme, est de comprendre que les logiciens (qui sont de parfaits logiciens, et raisonnent tous de manières identiques), ne pouvant communiquer entre eux d'aucune manière, et ne pouvant voir eux-même la couleur de leur marque sur leur propre front, doivent donc déduire cette information à partir de ce qu'il voient et de ce qu'ils entendent (le nombre de fois où la cloche sonne)

Or chacun d'entre eux voit la couleur des marques sur le front de tous ses confrères logiciens. La manière la plus simple et la plus logique est donc qu'on associe le nombre de fois qu'un logicien distingue une même couleur, au "numéro" associé au son de cloche. Par exemple, au 1er son de cloche, tout logicien voyant une couleur une seule fois doit se lever (car alors il sait qu'il porte la même couleur)

Donc le nombre total de sonneries/coup de cloche est égal au nombre de couleurs différentes présentes dans le cercle, plus le nombre de fois où la cloche à sonné sans que personne ne se lève.

Si une couleur est présente n fois (2 <= n <= 31), parmi le cercle des logiciens, alors tous ceux qui ne portent pas cette couleur sur leur front la verront n fois, mais ceux qui l'ont sur leur front la verront n-1 fois.

Pour résoudre l'énigme (trouver le nombre de coup de cloche), il faut donc partir du début (31 logiciens) et comprendre toute la démarche/logique, jusqu'à la fin (combien de logiciens se sont levé à chaque coup de cloche)

NB2: il est important de comprendre que chaque couleur est présente au moins deux fois dans le cercle, car sinon, avec cette méthode, il serait impossible à un logicien la portant de déduire sa propre couleur. Ainsi un logicien qui ne voit une couleur qu'une seule fois parmi le cercle en déduit immédiatement qu'il s'agit aussi de la couleur qu'il porte.

Un bonne aide ici:

http://en.wikipedia.org/wiki/Induction_puzzles

Directement d'après les informations fournies par l'énoncé, on peut aussi ne déduire que le nombre de fois où la cloche a sonné est N >= 6.

Il faut aussi comprendre que chaque logicien déduit sa propre couleur (et donc son propre comportement) d'après le comportement des autres logiciens.




Dernière édition par Lao schin le Ven 19 Mar, 2010; édité 2 fois
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Lao schin
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MessagePosté le: Ven 19 Mar, 2010  Répondre en citant

Il faut aussi comprendre /déduire qu'à un numéro de son de cloche n'est pas forcément associé une unique couleur; car ce n'est pas la couleur, mais le nombre de fois qu'elle est présente qui est associé au numéro de son de cloche.

A partir de là, on peut avoir deux couleurs différentes (mais présentes un nombre de fois identiques) qui se lèvent à un même son de cloche! smile

Ceci permet de comprendre pourquoi 4 logiciens se lèvent au 1er son de cloche, et non pas seulement 2 comme on aurait pu s'y attendre. ^^

Je vous ai tellement aidé que la suite devrait être (logiquement ^^ ) facile, maintenant.


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Inis
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MessagePosté le: Ven 19 Mar, 2010  Répondre en citant

Lao_schin a écrit:
Directement d'après les informations fournies par l'énoncé, on peut aussi ne déduire que le nombre de fois où la cloche a sonné est N >= 5.

Ah bon ? Parce que d'après le passage :

"A la première sonnerie, quatre personnes quittèrent la table. A la seconde sonnerie, tous les logiciens avec un point rouge se levèrent quittèrent la table ensemble. A la troisième sonnerie, personne ne bougea, mais à la quatrième, au moins une personne réagit. Le novice, évoqué plus haut, ainsi que sa sœur, avec des points de couleurs différentes, partirent peu après, chacun d’entre eux avant le dernier son de cloche."

et si l'on considère que "peu après" est différent de "juste après", je pensais que ça donnait au minimum 7 sonneries ?


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Lao schin
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MessagePosté le: Ven 19 Mar, 2010  Répondre en citant

Pardon, c'est N >= 6 (2 couleurs peuvent partir au même coup de cloche à priori, d'après ce qui précède). J'édite.

Peu après n'est pas à interpréter en terme de nombre de sons de cloche, mais simplement en terme de temps . [J'ai vérifié, dans la version originale en anglais, c'est bien: "shortly after"]


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Inis
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MessagePosté le: Ven 19 Mar, 2010  Répondre en citant

Lao_schin a écrit:
Peu après n'est pas à interpréter en terme de nombre de son de cloche, mais simplement en terme de temps .

C'est pareil, puisque le nombre de sons de cloche et le nombre de minutes est le même : "toute les minute cette cloche va sonner."


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Bourinax
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MessagePosté le: Ven 19 Mar, 2010  Répondre en citant

c'est dommage tu as donné trop d'indices, tu as quasiment vendu la solution sadblauw

voila ma solution :
Cliquez ici pour voir le message caché ( il peut contenir des spoilers )


EDIT : je trouve N =14 pour la configuration :
- Un groupe de 2
- Un groupe de 15
- Un groupe de 14

Hypothèse : à la n-ième sonnerie, les groupes de n+1 membres partent (sauf cas particulier)

Il me semble que pour toutes les autres configurations N est plus petit ou égal : par exemple pour :
- un groupe de 29
- un groupe 2
A la 2ème sonnerie, comme il peut pas y avoir de couleur toute seule, tout le monde connait sa couleur (cas particulier) => il faut 2 gros groupes

Pour :
- un groupe de 2
- un groupe de 13
- un groupe de 16
Quand le groupe de 13 est parti, idem que avant, donc n=13




Dernière édition par Bourinax le Ven 19 Mar, 2010; édité 1 fois
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Lao schin
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MessagePosté le: Ven 19 Mar, 2010  Répondre en citant

Je sais qu'on est à cheval sur des détails de logiciens, là, mais "peu après" peut signifier "1 minute après", par exemple.

"Peu après" peut être "juste après" (car c'est moins précis).

Je pense que l'énoncé est volontairement flou, pour laisser plusieurs possibilités.

Bourinax, il me faut le détail de ta démarche avec les nombres à chaque coup, et surtout le nombre total de sons de cloche à la fin! Mais sinon ta démarche est en effet la bonne.

Pour me faire pardonner des spoilers, Bourinax, je te propose celle-ci:

http://www.ilemaths.net/forum-sujet-285235.html

(toujours des logiciens, mais encore plus difficile, accroche-toi à tes neurones! )

Je précise que je ne l'ai pas résolue, car je ne l'ai pas cherchée. Lorsque j'ai vu la solution, je me suis rendu compte à quel point elle était difficile; il faut déjà avoir de solides notions d'arithmétique pour prétendre à sa résolution...




Dernière édition par Lao schin le Ven 19 Mar, 2010; édité 1 fois
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Bourinax
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MessagePosté le: Ven 19 Mar, 2010  Répondre en citant

ma démarche je l'ai expliquée, le principe du problème est simple : tous le monde trouve la même solution est l'applique.

D'ailleurs il y a une faille dans le raisonnement : pour que ça marche il faut supposer qu'il n'y a qu'une seule solution (en effet si quelqu'un d'autre trouve une autre solution ça peut tout faire foirer).
Donc pour être vraiment rigoureux, il faudrait soit démontrer :
- que la solution est parfaite" (donc les logiciens ne peuvent trouver que celle là parce qu'il sont parfaits, donc on écarte les autres solutions), or cela n'a mathématiquement aucun sens.
- qu'il n'y a qu'une seule solution : pour cela il faut forcement modifier l'énoncé : le nombre de coups de cloches dois être minimal (sinon on invente facilement une autre solution : on dit que le 1er coup de cloche compte pour du beurre).

Prouver ça n'est vraiment pas évident... pour simplifier on est obligé de conjecturer que la solution trouvé minimise le nombre de coup de cloches (en prenant en compte les cas particuliers que j'ai décrit) et est unique. A partir de ce moment dès que je propose une solution qui marche le problème est résolu.

EDIT : je comprend pas le délire avec le "peu après". Dans l'énoncé il est précisé :
Citation:

toute les minute cette cloche va sonner. Si à cet instant précis un ou plusieurs d’entre vous connaît la couleur du point qu’il porte, il doit se lever de la table et me rejoindre dans la clairière à côté, où la réunion continuera

Autrement dit, il est interdit aux gens de regarder qui se lève et utiliser cette information pour se lever ou non : il faut attendre la prochaine cloche.


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Lao schin
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MessagePosté le: Ven 19 Mar, 2010  Répondre en citant

Bourinax a écrit:
D'ailleurs il y a une faille dans le raisonnement


Pas de faille, non. Il existe une unique solution, et comme ce sont tous de parfaits logiciens, ils la trouvent en raisonnant tous de la même manière. Mais même, en fait, tu l'a compris, les logiciens n'ont même pas besoin de savoir au final combien de coups la cloche sonne. Il leur suffit de compter les points de mêmes couleurs et le nombre de coups de cloche.

Bourinax a écrit:
Autrement dit, il est interdit aux gens de regarder qui se lève et utiliser cette information pour se lever ou non : il faut attendre la prochaine cloche.


Pas d'accord; rien de tel n'est écrit dans l'énoncé. C'est même une information cruciale qu'ils ont à utiliser.

On a pas dit qu'on leur bandait les yeux non plus lach1, faut pas pousser...

Je posterai la solution ce soir, ou ce w-e.


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Bourinax
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MessagePosté le: Ven 19 Mar, 2010  Répondre en citant

Citation:
(toujours des logiciens, mais encore plus difficile, accroche-toi à tes neurones! )


heu là il me semble que c'est super simple en fait il existe une équivalence entre les solutions d'un polynome du second degré et un système de 2 inconnues avec des condictions sur la somme et le produit des inconnues. C'est des calculs qu'un élève de seconde sait faire. Par contre je comprend pas trop l'intérêt du dialogue :/


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